Calculadora de inecuaciones cuadráticas
Analiza y grafica inecuaciones cuadráticas de la forma ax² + bx + c op 0, con raíces, vértice, conjunto solución y notación de intervalos.
Ingresa los coeficientes a, b, c y elige el signo de la inecuación para analizar la parábola y determinar el conjunto solución.
Calculadora de inecuaciones cuadráticas
Analiza y grafica inecuaciones cuadráticas de la forma ax² + bx + c op 0, con raíces, vértice, conjunto solución y notación de intervalos.
Acerca de la calculadora de inecuaciones cuadráticas
Una inecuación cuadrática es una desigualdad que involucra una expresión cuadrática —es decir, un polinomio de grado 2— comparada con un valor usando <, ≤, > o ≥. La forma más común es ax² + bx + c > 0 o ax² + bx + c < 0, donde a ≠ 0. A diferencia de una ecuación cuadrática, que busca valores específicos de x que hacen que la expresión sea igual a cero, una inecuación cuadrática busca todos los valores de x que hacen que la expresión sea positiva, negativa, no positiva o no negativa. La respuesta suele ser un intervalo o una unión de intervalos en la recta real.
La clave para resolver una inecuación cuadrática es entender la parábola y = ax² + bx + c. El signo de a determina si la parábola abre hacia arriba (a > 0) o hacia abajo (a < 0). Las intersecciones con el eje x —las raíces de la ecuación correspondiente ax² + bx + c = 0— son los puntos donde la parábola cruza o toca el eje x. El discriminante Δ = b² − 4ac te dice cuántas raíces reales existen: si Δ > 0 hay dos raíces reales distintas, si Δ = 0 hay exactamente una (raíz doble) y si Δ < 0 no hay raíces reales.
Para resolver ax² + bx + c > 0 cuando Δ > 0 y a > 0: la parábola abre hacia arriba y desciende por debajo del eje x entre sus dos raíces. Por eso la expresión es positiva fuera de las raíces, es decir, para x < r₁ o x > r₂. Para la inecuación < 0 con las mismas condiciones, la solución es el intervalo entre las raíces: r₁ < x < r₂. Cuando a < 0 la parábola abre hacia abajo y estos casos se invierten.
Cuando Δ = 0 hay un único punto de contacto. Si a > 0, la expresión es ≥ 0 para todo x (tocando cero solo en la raíz doble) y no es < 0 para ningún x. Cuando Δ < 0 y a > 0, la parábola nunca cruza el eje x y permanece completamente por encima de él, así que ax² + bx + c > 0 para todo x real y la inecuación < 0 no tiene solución.
Las inecuaciones cuadráticas aparecen en movimiento parabólico (¿cuándo está el proyectil por encima de cierta altura?), optimización (¿para qué entradas el costo supera los ingresos?), procesamiento de señales (bandas de frecuencia) e ingeniería de tolerancias. La fórmula del discriminante b² − 4ac y la fórmula cuadrática x = (−b ± √Δ) / (2a) son las dos herramientas principales del análisis.
Esta calculadora acepta los coeficientes a, b y c, además del signo de la inecuación, y luego calcula el discriminante, encuentra las raíces reales, determina el vértice y describe el conjunto solución tanto con lenguaje sencillo como con notación de intervalos. También informa la dirección de apertura de la parábola para ayudarte a visualizar la gráfica.
Ejemplos de inecuaciones cuadráticas
Cuatro casos que cubren parábolas que abren hacia arriba y hacia abajo, dos raíces distintas y una raíz doble.
| Inecuación | Conjunto solución | Notas |
|---|---|---|
| x² − 4x + 3 > 0 (a=1, b=−4, c=3) | (-∞, 1) ∪ (3, ∞) | La parábola abre hacia arriba, con raíces en x=1 y x=3. La expresión es positiva fuera de las raíces. |
| −x² + 2x + 3 ≤ 0 (a=−1, b=2, c=3) | (-∞, −1] ∪ [3, ∞) | La parábola abre hacia abajo, con raíces en x=−1 y x=3. La expresión es no positiva fuera de las raíces. |
| 2x² + 3x + 4 < 0 (a=2, b=3, c=4) | Sin solución | El discriminante Δ = 9 − 32 = −23 < 0 y a > 0, así que la expresión siempre es positiva. |
| x² − 6x + 9 ≥ 0 (a=1, b=−6, c=9) | Todos los números reales | Raíz doble en x=3 (un cuadrado perfecto). La expresión es cero solo en x=3 y positiva en cualquier otro punto. |
Cómo usar la calculadora de inecuaciones cuadráticas
- Ingresa el coeficiente a (término x²), b (término x) y c (constante). El coeficiente a no debe ser cero.
- Selecciona el signo de la inecuación en el menú desplegable: >, ≥, < o ≤.
- Haz clic en 'Graficar inecuación'. La calculadora calcula el discriminante, encuentra las raíces (si existen), ubica el vértice y determina el conjunto solución completo.
- Lee el conjunto solución en notación de intervalos en el panel de resultados. El símbolo ∪ significa que la solución consta de dos intervalos separados.
- Usa Restablecer para limpiar todos los campos y empezar un nuevo problema.
Preguntas frecuentes sobre la calculadora de inecuaciones cuadráticas
¿Qué es una inecuación cuadrática?
Una inecuación cuadrática es una desigualdad de la forma ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0, ≥ o ≤, donde a ≠ 0. En lugar de buscar valores específicos de x como en una ecuación, buscas todos los valores de x que satisfacen la inecuación; normalmente un rango o una unión de rangos.
¿Cómo afecta el signo del coeficiente líder a al conjunto solución?
Cuando a > 0, la parábola abre hacia arriba, así que la expresión es negativa entre las raíces y positiva fuera de ellas. Cuando a < 0, la parábola abre hacia abajo, así que la expresión es positiva entre las raíces y negativa fuera de ellas. Cambiar el signo de a esencialmente invierte el conjunto solución.
¿Qué pasa cuando el discriminante es negativo?
Si Δ = b² − 4ac < 0, la parábola nunca cruza el eje x. Cuando a > 0, la expresión siempre es positiva, así que ax²+bx+c > 0 es verdadero para todo x real (solución = ℝ) y ax²+bx+c < 0 no tiene solución. Cuando a < 0, ocurre lo contrario.
¿Qué es una raíz doble y qué significa para la solución?
Una raíz doble ocurre cuando Δ = 0, lo que significa que la parábola solo toca el eje x en un punto. Para a > 0, la expresión es ≥ 0 para todo x (la solución para ≥ son todos los reales) y nunca es estrictamente negativa (no hay solución para <). Para la inecuación ≤ con una raíz doble r, la solución es solo el punto x = r.
¿Cómo leo la notación de intervalos en el resultado?
Los paréntesis ( ) indican límites estrictos (no incluidos, usados para > o <), mientras que los corchetes [ ] indican límites inclusivos (usados para ≥ o ≤). El símbolo ∪ significa 'unión': la solución es el conjunto de todos los números en cualquiera de los intervalos.
¿La solución puede ser todos los números reales?
Sí. Si a > 0 y Δ < 0, entonces ax² + bx + c > 0 para todo x real, así que la solución de ax²+bx+c > 0 (o ≥ 0) es todo ℝ. Del mismo modo, si a < 0 y Δ < 0, entonces ax²+bx+c < 0 para todo x real.