Calculadora de fracciones egipcias

Una fracción egipcia es la representación de un número racional como suma de fracciones unitarias distintas, donde una fracción unitaria es una fracción de la forma 1/n para un entero positivo n. Por ejemplo, 2/3 = 1/2 + 1/6, y 4/5 = 1/2 + 1/4 + 1/20. Los antiguos matemáticos egipcios, hace más de 3.500 años, usaban exclusivamente estas representaciones. El Papiro Matemático de Rhind (c. 1650 a. C.) y el Papiro Matemático de Moscú contienen amplias tablas de descomposiciones de fracciones egipcias que los escribas usaban para cálculos prácticos de tierras, grano y trabajo. Los egipcios escribían las fracciones con un símbolo jeroglífico especial (un óvalo o glifo de boca llamado “ro”) colocado sobre el denominador entero, que representaba la fracción unitaria 1/n. Solo podían sumar esos símbolos; no tenían forma de escribir fracciones con numeradores distintos de 1. Esta restricción impulsó el desarrollo de tablas y algoritmos de descomposición sofisticados. Los matemáticos modernos han demostrado que todo número racional positivo menor que 1 puede expresarse como una suma finita de fracciones unitarias distintas, por lo que la representación egipcia siempre es posible. El algoritmo más conocido para calcular fracciones egipcias es el algoritmo voraz, también llamado algoritmo de Fibonacci–Sylvester. Funciona así: dada una fracción p/q, se busca el menor entero n tal que 1/n ≤ p/q (es decir, n = ⌈q/p⌉), se resta 1/n de p/q para obtener una nueva fracción, se simplifica y se repite hasta que el resto sea ya una fracción unitaria. El algoritmo voraz siempre termina y siempre produce fracciones unitarias distintas, aunque no siempre encuentra la representación más corta o elegante. Por ejemplo, para descomponer 2/3 con el algoritmo voraz: ⌈3/2⌉ = 2, así que se resta 1/2: 2/3 − 1/2 = 4/6 − 3/6 = 1/6. El resultado es 2/3 = 1/2 + 1/6. Para 4/5: ⌈5/4⌉ = 2, se resta 1/2: 4/5 − 1/2 = 3/10. Luego ⌈10/3⌉ = 4, se resta 1/4: 3/10 − 1/4 = 6/20 − 5/20 = 1/20. Resultado: 4/5 = 1/2 + 1/4 + 1/20. Las fracciones egipcias siguen siendo un área activa de investigación matemática. La conjetura de Erdős–Straus (1948) afirma que 4/n siempre puede escribirse como suma de exactamente tres fracciones unitarias; esto se ha verificado para todo n hasta al menos 10^14, pero sigue sin demostrarse en general. Las preguntas sobre el número mínimo de términos en una representación egipcia, el mayor denominador en la representación óptima y los algoritmos eficientes para encontrar representaciones cortas son temas de trabajo matemático en curso. Más allá de las matemáticas puras, las fracciones egipcias tienen aplicaciones en problemas de reparto justo. Dividir un recurso (como tierra, tiempo o dinero) en partes correspondientes a fracciones unitarias del total es directo y no ambiguo. Las fracciones egipcias también aparecen en el análisis de ciertos juegos combinatorios y en problemas de teoría de números relacionados con números perfectos y series armónicas.