Calculadora de ángulo doble
Calcula sin(2x), cos(2x) y tan(2x) con las identidades de ángulo doble; introduce un ángulo en grados o radianes para ver el resultado al instante.
Introduce un ángulo, elige la unidad y selecciona qué fórmulas de ángulo doble quieres mostrar.
Calculadora de ángulo doble
Calcula sin(2x), cos(2x) y tan(2x) con las identidades de ángulo doble; introduce un ángulo en grados o radianes para ver el resultado al instante.
Acerca de la calculadora de ángulo doble
Las fórmulas de ángulo doble son identidades trigonométricas que expresan sin(2x), cos(2x) y tan(2x) en términos de sin(x) y cos(x). Se usan mucho en trigonometría, cálculo, física e ingeniería porque permiten reducir el argumento de una función trigonométrica a la mitad.
Las tres identidades principales son: sin(2x) = 2 sin(x) cos(x); cos(2x) = cos²(x) − sin²(x), que también puede escribirse como 2cos²(x) − 1 o 1 − 2sin²(x); y tan(2x) = 2tan(x) / (1 − tan²(x)). Tan(2x) no está definida cuando cos(2x) = 0, es decir, cuando 2x = 90°, 270°, etc.
La fórmula de ángulo doble para el seno sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) sale directamente de la fórmula de suma sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) al tomar a = b = x. Aplicando el mismo enfoque a cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b) se obtiene cos(2x) = cos²(x) − sin²(x). Usando la identidad pitagórica sin²(x) + cos²(x) = 1, puedes sustituir sin²(x) = 1 − cos²(x) para obtener cos(2x) = 2cos²(x) − 1, o sustituir cos²(x) = 1 − sin²(x) para obtener cos(2x) = 1 − 2sin²(x). Las tres formas de la fórmula de ángulo doble para el coseno son equivalentes y útiles en contextos distintos.
En cálculo, las fórmulas de ángulo doble son esenciales para integrar productos de seno y coseno. Por ejemplo, la integral de sin(x)cos(x) se simplifica al reconocer que el integrando equivale a (1/2)sin(2x), lo que facilita la antiderivada. Del mismo modo, las integrales de sin²(x) y cos²(x) se resuelven reescribiéndolas con las formas de semíangulo derivadas de la fórmula de coseno de ángulo doble.
En física, las identidades de ángulo doble aparecen en mecánica ondulatoria, óptica y mecánica. La fórmula del alcance de un proyectil, R = (v²/g)sin(2θ), usa el seno de ángulo doble para expresar el alcance máximo en función del ángulo de lanzamiento. Los patrones de interferencia óptica, los osciladores armónicos y la maquinaria giratoria también implican combinaciones de funciones trigonométricas en las que las identidades de ángulo doble simplifican el análisis.
Esta calculadora acepta cualquier ángulo en grados o radianes. Convierte la entrada a radianes internamente, calcula sin(x) y cos(x), y luego aplica las identidades para obtener sin(2x), cos(2x) y tan(2x). Cuando tan(2x) no está definida (cuando el ángulo doble es un múltiplo impar de 90°), la calculadora muestra un mensaje claro de "Indefinido" en lugar de un número grande o engañoso. Los resultados se muestran con diez cifras significativas para mayor precisión.
Ejemplos de la fórmula de ángulo doble
Ángulos de referencia comunes con sus valores exactos o de alta precisión del ángulo doble.
| Ángulo (x) | sin(2x) / cos(2x) / tan(2x) | Notas |
|---|---|---|
| x = 30° | sin(60°) = 0.866, cos(60°) = 0.5, tan(60°) = 1.732 | sin(2×30°) = 2 sin30° cos30° = 2 × 0.5 × 0.866 = 0.866. Un ángulo de referencia muy común con valores exactos. |
| x = 45° | sin(90°) = 1, cos(90°) = 0, tan(90°) = Indefinido | Duplicar 45° da 90°. sin(90°) = 1, cos(90°) = 0. La tangente no está definida porque cos(90°) = 0. |
| x = 60° | sin(120°) = 0.866, cos(120°) = −0.5, tan(120°) = −1.732 | El ángulo doble 120° está en el segundo cuadrante: el seno es positivo, el coseno es negativo y la tangente es negativa. |
| x = π/6 rad (≈ 0.5236) | sin(π/3) ≈ 0.866, cos(π/3) = 0.5, tan(π/3) ≈ 1.732 | π/6 radianes equivale a 30°. El resultado es idéntico al primer ejemplo, lo que confirma la conversión de unidades. |
Cómo usar la calculadora de ángulo doble
- Introduce el valor del ángulo x en el campo Ángulo. Se acepta cualquier número real: positivo, negativo o cero.
- Selecciona la unidad: Grados para ángulos comunes como 30°, 45° y 60°, o Radianes para valores como π/6.
- Elige el tipo de fórmula: Todas las fórmulas muestra sin(2x), cos(2x) y tan(2x); también puedes seleccionar solo una si necesitas un único resultado.
- Haz clic en Calcular. El panel de resultados muestra los valores calculados para las fórmulas seleccionadas y marca tan(2x) como Indefinido cuando corresponde.
- Haz clic en Restablecer para borrar la entrada, o cambia el ángulo y la unidad para explorar otros valores.
Preguntas frecuentes sobre la calculadora de ángulo doble
¿Cuál es la fórmula de ángulo doble para el seno?
La fórmula de ángulo doble para el seno es sin(2x) = 2 sin(x) cos(x). Se deriva de la fórmula de suma sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) al fijar a y b iguales a x. Esta identidad se usa en integración, física y procesamiento de señales.
¿Por qué hay tres versiones de la fórmula de ángulo doble para el coseno?
Las tres versiones — cos(2x) = cos²x − sin²x, cos(2x) = 2cos²x − 1 y cos(2x) = 1 − 2sin²x — son equivalentes. La primera sale directamente de la fórmula de suma del coseno. Las otras dos se obtienen sustituyendo la identidad pitagórica sin²x + cos²x = 1. Cada forma resulta útil en contextos distintos de integración y simplificación.
¿Cuándo no está definida tan(2x)?
tan(2x) no está definida cuando cos(2x) = 0, lo que ocurre cuando 2x = 90° + 180°k para cualquier entero k, es decir, cuando x = 45° + 90°k. En esos ángulos, la fórmula tan(2x) = 2tan(x)/(1 − tan²x) implica división por cero, y la propia tangente tiende a ±∞.
¿Cómo se usan las fórmulas de ángulo doble en cálculo?
Las fórmulas de ángulo doble son esenciales para evaluar integrales de potencias de funciones trigonométricas. Por ejemplo, ∫sin²(x)dx = ∫(1 − cos(2x))/2 dx, que se integra con facilidad. Sin estas identidades, esas integrales requerirían técnicas mucho más complejas.
¿Se pueden aplicar las fórmulas de ángulo doble a ángulos negativos?
Sí. Como sin y cos están definidas para todos los números reales, las fórmulas de ángulo doble también funcionan para ángulos negativos. Por ejemplo, sin(2 × (−30°)) = sin(−60°) = −sin(60°) ≈ −0.866. La calculadora acepta cualquier número real como entrada.
¿Qué relación hay entre las fórmulas de ángulo doble y las de semíangulo?
Las fórmulas de semíangulo se derivan sustituyendo x por x/2 en las fórmulas de ángulo doble. Por ejemplo, a partir de cos(2x) = 1 − 2sin²x, si sustituyes x → x/2 obtienes cos(x) = 1 − 2sin²(x/2), que se reordena como sin²(x/2) = (1 − cos x)/2. Estas fórmulas son útiles para calcular valores trigonométricos de ángulos que son la mitad de ángulos de referencia conocidos.