Calculadora del discriminante - raíces cuadráticas
Calcula el discriminante Δ = b² − 4ac de cualquier ecuación cuadrática e identifica al instante si sus raíces son reales, dobles o complejas.
Calculadora del discriminante - raíces cuadráticas
Calcula el discriminante Δ = b² − 4ac de cualquier ecuación cuadrática e identifica al instante si sus raíces son reales, dobles o complejas.
Introduce los coeficientes a, b y c de ax² + bx + c = 0. El coeficiente a no puede ser cero.
Cargar un ejemplo rápido:
Acerca de la calculadora del discriminante
El discriminante es un solo número que resume todo lo que necesitas saber sobre las raíces de una ecuación cuadrática antes de resolverla. Derivado de la fórmula cuadrática, el discriminante Δ = b² − 4ac aparece bajo el signo de raíz en x = (−b ± √Δ) / (2a). Su signo por sí solo determina si la ecuación tiene dos raíces reales distintas (Δ > 0), una raíz real doble (Δ = 0) o dos raíces complejas conjugadas (Δ < 0).
Cuando Δ es positivo, su raíz cuadrada es un número real positivo y el ± de la fórmula cuadrática produce dos valores reales diferentes. La raíz mayor es (−b + √Δ)/(2a) y la menor es (−b − √Δ)/(2a). Cuanto mayor es el discriminante, más separadas suelen estar las dos raíces; son más cercanas cuando Δ es pequeño y positivo. En la gráfica de y = ax² + bx + c, un discriminante positivo significa que la parábola cruza el eje x en dos puntos distintos.
Cuando Δ es cero, √Δ = 0, y ambas ramas, la + y la −, dan la misma respuesta: x = −b/(2a). Este es el vértice de la parábola, y la curva es tangente al eje x exactamente en este punto. Los trinomios cuadrados perfectos como (x − 3)² = x² − 6x + 9 siempre tienen discriminante cero: Δ = 36 − 36 = 0.
Cuando Δ es negativo, no existe raíz cuadrada real de Δ, y las soluciones involucran la unidad imaginaria i = √(−1). Las dos raíces son complejas conjugadas de la forma (−b)/(2a) ± i√(|Δ|)/(2a). Aunque estas raíces no corresponden a intersecciones con el eje x en la recta real, sí son soluciones válidas en el sistema de números complejos y aparecen con frecuencia en procesamiento de señales, teoría de control y física.
El discriminante tiene conexiones importantes con otras áreas de las matemáticas. En la fórmula cuadrática, determina directamente las dos soluciones. En geometría analítica, controla la posición de la parábola respecto al eje x. En la teoría de ecuaciones, se generaliza a polinomios de mayor grado como una medida de cuántas raíces coinciden. Las fórmulas de Viète conectan el discriminante con la suma y el producto de las raíces: para ax² + bx + c = 0, la suma de las raíces es −b/a y el producto es c/a, y en forma normalizada Δ = (suma de raíces)² − 4(producto de raíces) × a²/a².
Introduce cualquier a, b y c válidos en la calculadora del discriminante para ver al instante Δ, la naturaleza de las raíces y sus valores reales. La calculadora maneja los tres casos —discriminante positivo, cero y negativo— y muestra las raíces complejas en la forma estándar a + bi.
Ejemplos de discriminante
Tres casos estándar que cubren todos los resultados posibles del discriminante.
| Ecuación | Discriminante | Naturaleza de las raíces |
|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6) | Δ = 1 | Δ = (−5)²−4(1)(6) = 25−24 = 1 > 0. Dos raíces reales distintas: x = 3 y x = 2. |
| x² − 4x + 4 = 0 (a=1, b=−4, c=4) | Δ = 0 | Δ = (−4)²−4(1)(4) = 16−16 = 0. Una raíz doble: x = 2. La parábola toca el eje x exactamente una vez. |
| x² + 2x + 5 = 0 (a=1, b=2, c=5) | Δ = −16 | Δ = 4−4(1)(5) = 4−20 = −16 < 0. Dos raíces complejas conjugadas: x = −1 ± 2i. La parábola no corta el eje x. |
| 2x² − 8x + 6 = 0 (a=2, b=−8, c=6) | Δ = 16 | Δ = 64−4(2)(6) = 64−48 = 16 > 0. Dos raíces reales distintas: x = 3 y x = 1. |
Cómo usar la calculadora del discriminante
- Identifica los coeficientes a, b y c de tu ecuación cuadrática escrita en forma estándar ax² + bx + c = 0.
- Introduce a en el primer campo, b en el segundo y c en el tercero. Recuerda que a debe ser distinto de cero.
- Haz clic en Calcular discriminante para ver Δ = b² − 4ac, la naturaleza de las raíces y las raíces mismas.
- Usa los botones de carga rápida para probar los tres ejemplos clásicos que cubren discriminantes positivos, cero y negativos.
- Haz clic en Restablecer para volver a los valores predeterminados y empezar un nuevo cálculo.
Preguntas frecuentes sobre la calculadora del discriminante
¿Qué es el discriminante de una ecuación cuadrática?
El discriminante de ax² + bx + c = 0 es la expresión Δ = b² − 4ac. Aparece bajo la raíz cuadrada en la fórmula cuadrática y determina el número y el tipo de raíces sin necesidad de resolver completamente la ecuación. Un discriminante positivo significa dos raíces reales distintas, cero significa una raíz doble y negativo significa dos raíces complejas conjugadas.
¿Cómo uso el discriminante para encontrar las raíces?
Una vez que conoces Δ, sustitúyelo en la fórmula cuadrática: x = (−b ± √Δ) / (2a). Si Δ > 0, toma +√Δ y −√Δ para obtener dos raíces reales. Si Δ = 0, la única raíz es −b/(2a). Si Δ < 0, las raíces son complejas: x = −b/(2a) ± i√(|Δ|)/(2a).
¿Qué significa cuando el discriminante es cero?
Un discriminante igual a cero significa que la cuadrática tiene una raíz doble. Geométricamente, la parábola y = ax² + bx + c es tangente al eje x: solo lo toca en el vértice sin cruzarlo. Esto ocurre, por ejemplo, con el trinomio cuadrado perfecto x² − 4x + 4 = (x−2)².
¿Puede el discriminante ser negativo?
Sí. Un discriminante negativo significa que no existe una raíz cuadrada real de Δ, por lo que la cuadrática no tiene raíces reales. En su lugar, tiene dos raíces complejas conjugadas de la forma p + qi y p − qi. Esto ocurre cuando la parábola está totalmente por encima o por debajo del eje x y nunca lo intersecta.
¿Por qué el coeficiente a tiene que ser distinto de cero?
Si a = 0, la ecuación ax² + bx + c = 0 se reduce a bx + c = 0, que es lineal y no cuadrática. La fórmula cuadrática y el discriminante no están definidos para a = 0 porque el denominador 2a sería cero. La calculadora requiere a ≠ 0 para garantizar que se analice una cuadrática real.
¿Cómo se relaciona el discriminante con la gráfica de la cuadrática?
Las intersecciones con el eje x de la parábola y = ax² + bx + c corresponden exactamente a las raíces reales de la ecuación. Si Δ > 0, la parábola cruza el eje x en dos puntos distintos. Si Δ = 0, es tangente al eje x en un punto (el vértice). Si Δ < 0, la parábola no toca el eje x en absoluto, lo que confirma que todas las raíces son complejas.