Calculadora de decimales terminantes

Un decimal terminante es un número decimal que tiene una cantidad finita y definida de dígitos después del punto decimal. Algunos ejemplos son 0.5, 0.75, 0.125 y 3.25. En cambio, un decimal periódico como 0.333… o 0.142857142857… continúa infinitamente. Ambos tipos son números racionales —cada uno puede expresarse como una fracción—, pero solo los decimales terminantes encajan exactamente en una representación decimal finita. La regla que determina qué fracciones terminan es elegantemente simple y se deriva directamente de la estructura en base 10 de nuestro sistema numérico. Todo número decimal puede pensarse como una fracción con una potencia de diez (10, 100, 1000, …) en el denominador. Una fracción p/q termina si y solo si, al reducirse a sus términos más simples, el denominador q no tiene factores primos distintos de 2 y 5. Esto se debe a que los únicos factores primos de cualquier potencia de 10 son 2 y 5, y una fracción puede convertirse en una fracción equivalente con denominador potencia de 10 si y solo si su denominador contiene únicamente esos dos primos. El algoritmo que sigue esta calculadora tiene tres pasos. Primero, calcula el máximo común divisor (MCD) del numerador y el denominador y divide ambos por él para obtener la fracción en términos mínimos. Segundo, encuentra la factorización prima del denominador simplificado. Tercero, comprueba si cada factor primo es 2 o 5. Si es así, la fracción termina; si aparece cualquier otro primo (3, 7, 11, 13, …), es periódica. Para ilustrarlo: la fracción 7/20 tiene un denominador 20 = 2² × 5. Como los únicos factores primos son 2 y 5, 7/20 es un decimal terminante. Su valor decimal es 0.35, porque 7/20 = 35/100. Por otro lado, 1/6 tiene un denominador 6 = 2 × 3. La presencia del factor 3 significa que 1/6 no puede expresarse sobre una potencia de 10, así que es periódico: 0.1666… Un matiz importante es el papel de la simplificación. La fracción 6/30, por ejemplo, parece compleja, pero al simplificar por el MCD de 6 se obtiene 1/5, cuyo denominador es solo 5: un decimal terminante. Del mismo modo, 2/12 se simplifica a 1/6, que es periódico. Por eso la calculadora siempre reduce primero la fracción antes de inspeccionar los factores primos del denominador. El tamaño del denominador es irrelevante para saber si el decimal termina. La fracción 1/1024 termina porque 1024 = 2¹⁰, aunque 1024 sea bastante grande. Mientras tanto, 1/3 es periódico porque 3 es un primo distinto de 2 o 5, aunque 3 sea pequeño. Lo que importa es la naturaleza de los factores primos, no su magnitud.