Calculadora de coeficiente binomial

El coeficiente binomial C(n, k), también llamado “n sobre k” o escrito como ⁿCₖ, es el número de formas de seleccionar exactamente k elementos de un conjunto de n elementos distintos cuando el orden no importa. Es una cantidad fundamental en combinatoria y aparece en probabilidad, álgebra, estadística e informática. Su fórmula es C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!). El signo de exclamación indica factorial: n! = n × (n−1) × (n−2) × ⋯ × 2 × 1, y por convención 0! = 1. Por ejemplo, C(5, 2) = 5! / (2! × 3!) = 120 / (2 × 6) = 10, así que hay 10 formas de elegir 2 elementos de un grupo de 5. Los coeficientes binomiales son las entradas del triángulo de Pascal. En él, cada número es la suma de los dos que tiene justo encima. La entrada de la fila n y columna k, contando desde cero, es C(n, k). Esto se deduce de la identidad de Pascal: C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k), porque cada elemento se incluye o se excluye de la selección. El nombre proviene del teorema binomial: (x + y)ⁿ = Σ C(n, k) × xᵏ × y^(n−k), para k de 0 a n. El coeficiente de cada término xᵏ y^(n−k) en la expansión es C(n, k). Por ejemplo, (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³, y los coeficientes 1, 3, 3, 1 son C(3,0), C(3,1), C(3,2), C(3,3). En probabilidad, los coeficientes binomiales aparecen en la distribución binomial, que modela el número de éxitos en n ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad de éxito p. La probabilidad de exactamente k éxitos es C(n, k) × p^k × (1−p)^(n−k). Problemas como contar manos de póker, boletos de lotería, comités o cadenas binarias con un número fijo de unos se reducen a estos cálculos. Para n y k grandes, calcular factoriales directamente puede causar desbordamiento de enteros. Los algoritmos eficientes usan la fórmula multiplicativa C(n, k) = ∏ (n − i) / (i + 1), con i de 0 a k−1, para mantener menores los valores intermedios. Esta calculadora usa aritmética entera exacta para devolver resultados precisos en entradas prácticas.