Calculadora de la paradoja de los dos sobres

La paradoja de los dos sobres es uno de los rompecabezas más célebres de la teoría de la probabilidad y la teoría de la decisión. Se popularizó en las décadas de 1980 y 1990 y sigue generando debates intensos entre matemáticos, filósofos y estadísticos. El planteamiento es engañosamente simple: hay dos sobres, cada uno contiene una cantidad de dinero. Uno de los sobres tiene exactamente el doble que el otro. Eliges uno al azar, miras la cantidad X que hay dentro y luego debes decidir si cambias al otro sobre. El argumento probabilístico ingenuo dice así: el otro sobre contiene 2X (si elegiste el menor) o X/2 (si elegiste el mayor). Ambos casos son igual de probables con probabilidad 0.5. Por tanto, el valor esperado del otro sobre es 0.5 × 2X + 0.5 × X/2 = X + X/4 = 1.25X. Como 1.25X es mayor que X, siempre deberías cambiar. Pero ahí está la paradoja: si cambias y ahora tienes el otro sobre con cantidad Y = 1.25X, la misma lógica te dice que vuelvas a cambiar, y así ad infinitum. Esta calculadora aplica el argumento ingenuo para calcular ambos valores esperados, haciendo tangible la paradoja con números reales. Cuando introduces X = 100, muestra que el análisis ingenuo predice un EV de 125 al cambiar y solo 100 al quedarse. El cálculo aritmético es correcto, entonces ¿por qué la conclusión es errónea? La resolución depende de la teoría de la probabilidad. El argumento ingenuo asume implícitamente que, después de ver X, es igual de probable que el otro sobre contenga 2X o X/2; es decir, trata a X como si pudiera ser tanto la cantidad menor como la mayor con la misma probabilidad. Pero en cualquier caso concreto, X es o bien la cantidad menor (y entonces el otro sobre definitivamente tiene 2X) o bien la mayor (y entonces el otro sobre definitivamente tiene X/2). El análisis correcto exige una distribución previa sobre las posibles cantidades ocultas en los sobres. Para la mayoría de los priors naturales —incluida cualquier distribución con esperanza finita— el valor esperado correcto de cambiar es exactamente X, sin ventaja alguna. Dicho de forma más formal, supón que las dos cantidades son m y 2m tomadas de alguna distribución. Si observas X, la esperanza condicional del otro sobre dada la distribución previa no es 1.25X en general. La fórmula ingenua mezcla dos cantidades de referencia (m y 2m) como si compartieran la misma base, y ese es el truco algebraico que crea la ilusión de ganancia. La paradoja de los dos sobres ilustra de forma elegante cómo un razonamiento probabilístico informal puede llevar a contradicciones cuando se aplica sin cuidado, y por qué es esencial condicionar bayesianamente sobre el prior correcto. Ha impulsado investigaciones sobre priors impropios, intercambiabilidad y teoría de decisión bajo ambigüedad, convirtiéndose en un ejemplo clásico en cursos avanzados de probabilidad.