Calculadora de rachas de monedas: caras y cruces

Una racha —también llamada run— es una secuencia de resultados idénticos consecutivos. El ejemplo más simple es una racha de k caras seguidas al lanzar una moneda justa. Aunque suene sencillo, las matemáticas de las rachas implican resultados sorprendentemente profundos de la teoría de la probabilidad y tienen aplicaciones que van desde el análisis deportivo hasta la modelización del riesgo financiero. La probabilidad de obtener al menos una racha de k caras consecutivas en algún punto dentro de n lanzamientos no puede calcularse con una simple fórmula binomial. Requiere seguir, en cada paso, lo cerca que estás de completar una racha, una tarea ideal para la programación dinámica. Esta calculadora usa exactamente ese enfoque: mantiene una distribución de probabilidad sobre cuántas caras consecutivas llevas acumuladas, la actualiza con cada nuevo lanzamiento y suma la probabilidad absorbida en el estado de 'racha completada' después de n lanzamientos. El número esperado de lanzamientos hasta la primera racha de k caras consecutivas tiene una forma cerrada elegante para una moneda justa (p = 0.5): E_k = 2(2^k − 1). Para k = 1, se esperan 2 lanzamientos en promedio antes de la primera cara, lo cual es correcto, ya que E[geométrica(0.5)] = 1/0.5 = 2. Para 3 caras seguidas, el valor esperado es 2(2^3 − 1) = 14. Para k = 10, la expectativa ya es de 2,046 lanzamientos, lo que demuestra que las rachas largas son mucho más raras de lo que sugiere la intuición. En las rachas de 'cualquiera' (k resultados consecutivos del mismo tipo, ya sean caras o cruces), el número esperado de lanzamientos es 2^k − 1. Es más corto porque cualquier resultado del primer lanzamiento inicia una posible racha en esa dirección. Para k = 3, la espera esperada es solo 7 lanzamientos, frente a 14 para una racha específicamente de caras. Intuitivamente, la racha puede formarse en cualquiera de los dos sentidos, duplicando de hecho las oportunidades. Los cálculos de rachas aparecen en muchos contextos prácticos. En deportes, se observa que un jugador de baloncesto que encestó los últimos 5 tiros seguidos está 'on fire'. La investigación estadística sobre este fenómeno del 'hot hand' encuentra que, aunque existe cierta correlación real, gran parte de lo que los aficionados perciben como rachas es simplemente el agrupamiento natural esperado de procesos aleatorios. En finanzas, un fondo que supera al mercado 5 años seguidos parece impresionante, pero con miles de fondos esto es estadísticamente inevitable bajo la hipótesis nula de ausencia de habilidad. La calculadora de rachas ayuda a juzgar si una serie observada de éxitos es sorprendente dado el número de oportunidades. En el juego, entender las probabilidades de rachas ayuda a fijar expectativas realistas. La probabilidad de obtener 10 caras seguidas en 100 lanzamientos es de aproximadamente 4.4%, menor de lo que muchos jugadores esperan al considerar los muchos posibles puntos de inicio. La probabilidad de obtener 20 caras seguidas en 1,000 lanzamientos es de solo 0.05%, realmente rara, pese al gran número de intentos. Esta calculadora admite longitudes de racha de 1 a 100 y un máximo de 100,000 lanzamientos en el modo de probabilidad, cubriendo escenarios prácticos desde ejercicios de clase hasta estudios de simulación a gran escala.