Calculadora de la paradoja de los dos sobres - Teoría de la decisión
Explora de forma interactiva la famosa paradoja de los dos sobres. Introduce el importe de tu sobre para analizar los valores esperados y entender el acertijo matemático.
Introduce el importe que ves en el sobre elegido y haz clic en Analizar para ver el valor esperado de cambiar frente a conservar, junto con la explicación de la paradoja.
Calculadora de la paradoja de los dos sobres - Teoría de la decisión
Explora de forma interactiva la famosa paradoja de los dos sobres. Introduce el importe de tu sobre para analizar los valores esperados y entender el acertijo matemático.
Acerca de la paradoja de los dos sobres
La paradoja de los dos sobres es uno de los acertijos más célebres de la teoría de la probabilidad y la teoría de la decisión. Se popularizó en las décadas de 1980 y 1990 y sigue generando debates vivos entre matemáticos, filósofos y estadísticos. El planteamiento es engañosamente simple: dos sobres contienen cierta cantidad de dinero. Un sobre contiene exactamente el doble que el otro. Eliges un sobre al azar, miras la cantidad X que hay dentro y luego debes decidir si cambiar al otro sobre.
El argumento probabilístico ingenuo funciona así: el otro sobre contiene 2X (si elegiste el menor) o X/2 (si elegiste el mayor). Cada caso es igualmente probable, con probabilidad 0.5. Por tanto, el valor esperado del otro sobre es 0.5 × 2X + 0.5 × X/2 = X + X/4 = 1.25X. Como 1.25X es mayor que X, deberías cambiar siempre. Pero aquí aparece la paradoja: si cambias y ahora tienes el otro sobre con importe Y = 1.25X, la misma lógica te dice que vuelvas a cambiar, y así hasta el infinito.
Esta calculadora calcula ambos valores esperados usando el argumento ingenuo, haciendo tangible la paradoja con números reales. Cuando introduces X = 100, muestra que el análisis ingenuo predice un valor esperado de 125 al cambiar y solo 100 al conservar. El cálculo es aritméticamente correcto, así que ¿por qué falla la conclusión?
La resolución depende de la teoría de la probabilidad. El argumento ingenuo supone implícitamente que, después de ver X, es igual de probable que el otro sobre contenga 2X o X/2; es decir, trata X como si pudiera ser la cantidad menor o la mayor con la misma probabilidad. Pero en cualquier configuración concreta, X es la cantidad menor (en cuyo caso el otro sobre tiene definitivamente 2X) o X es la cantidad mayor (en cuyo caso el otro sobre tiene definitivamente X/2). El análisis correcto requiere una distribución previa sobre las cantidades posibles ocultas en los sobres. Para la mayoría de las previas naturales, incluida cualquier distribución con valor esperado finito, el valor esperado correcto de cambiar es exactamente X, por lo que no ofrece ventaja.
Más formalmente, sean las dos cantidades m y 2m extraídas de alguna distribución. Si observas X, la esperanza condicional del otro sobre dada la previa no es 1.25X en general. La fórmula ingenua mezcla dos cantidades de referencia (m y 2m) como si compartieran la misma base, que es el juego algebraico que crea la ilusión de ganancia.
La paradoja de los dos sobres ilustra muy bien cómo el razonamiento probabilístico informal puede conducir a contradicciones cuando se aplica sin cuidado, y por qué es esencial un condicionamiento bayesiano riguroso sobre la previa correcta. Ha impulsado investigaciones sobre previas impropias, intercambiabilidad y teoría de la decisión bajo ambigüedad, convirtiéndose en un ejemplo clásico en cursos avanzados de probabilidad.
Ejemplos de la paradoja de los dos sobres
Cantidades concretas que muestran el cálculo ingenuo del valor esperado y la paradoja que crea.
| Importe visto (X) | VE si cambias (ingenuo) | Interpretación |
|---|---|---|
| X = $100 | $125 | VE ingenuo = 0.5×$200 + 0.5×$50 = $125. Parece que cambiar gana $25, pero la misma lógica aplicada al otro lado produce la misma conclusión. |
| X = $40 | $50 | VE = 0.5×$80 + 0.5×$20 = $50. El argumento ingenuo siempre infla la ganancia esperada en un 25% del importe observado. |
| X = $500 | $625 | VE = 0.5×$1000 + 0.5×$250 = $625. Para cualquier X, la fórmula da 1.25X, lo que muestra por qué la paradoja persiste sin importar el importe observado. |
Cómo usar la calculadora de dos sobres
- Introduce el importe que observas en el sobre elegido en el campo etiquetado Importe en tu sobre (X).
- Haz clic en Analizar para calcular los valores esperados ingenuos tanto de conservar como de cambiar.
- Lee el panel Valor esperado si conservas: simplemente muestra tu importe observado X como valor seguro.
- Lee el panel Valor esperado si cambias: muestra 1.25X, el resultado del argumento probabilístico ingenuo.
- Revisa la nota de la paradoja bajo los resultados para entender por qué la cifra 1.25X es engañosa y cuál es la resolución correcta.
FAQ sobre la paradoja de los dos sobres
¿Por qué el argumento ingenuo da 1.25X?
La fórmula ingenua calcula 0.5×(2X) + 0.5×(X/2) = 1.25X al tratar ambas posibilidades como igualmente probables dado el valor observado. Es algebraicamente correcta, pero probabilísticamente defectuosa porque mezcla dos cantidades de referencia distintas como si compartieran la misma base.
¿Alguna vez es correcto cambiar de sobre?
Sin información adicional, cambiar y conservar son opciones igualmente buenas. El valor esperado de ambos sobres es el mismo cuando se calcula correctamente usando una distribución previa adecuada sobre las cantidades. Cambiar nunca proporciona una ventaja garantizada.
¿Cuál es el fallo del argumento de cambiar?
El fallo es que, después de ver X, no sabes si X es la cantidad menor o la mayor. El argumento ingenuo trata X como si pudiera ser simultáneamente igual a m y a 2m, pero esos casos son mutuamente excluyentes. Un análisis bayesiano riguroso muestra que la ganancia esperada correcta por cambiar es cero para cualquier previa propia.
¿Cambia la paradoja si miro dentro del sobre?
Mirar y ver X aporta información, pero sin conocer la distribución de las cantidades no puede ayudarte a decidir. Si conoces la distribución previa (por ejemplo, cantidades extraídas de una distribución uniforme hasta un máximo), a veces puedes ganar cambiando, pero la regla ingenua de 1.25X sigue siendo incorrecta en general.
¿Es lo mismo que el problema de Monty Hall?
Están relacionados, pero son distintos. En el problema de Monty Hall, la acción del presentador después de tu elección aporta información nueva real que cambia las probabilidades, así que cambiar es realmente beneficioso. En la paradoja de los dos sobres, no se revela información nueva después de ver X, por lo que cambiar tiene un beneficio esperado cero frente a conservar.
¿Qué nos enseña esta paradoja sobre la probabilidad?
La paradoja resalta la importancia de especificar la distribución previa antes de aplicar argumentos probabilísticos. El razonamiento informal sobre eventos igualmente probables debe apoyarse en un espacio de probabilidad bien definido. Es una advertencia sobre los peligros de usar fórmulas de valor esperado sin comprobar los supuestos subyacentes.