Calculadora de distribución de Rayleigh - PDF, CDF y estadísticas

La distribución de Rayleigh es una distribución de probabilidad continua para variables aleatorias no negativas, nombrada así por Lord Rayleigh, quien la derivó originalmente en el contexto de las amplitudes de ondas sonoras. Se define por un único parámetro, σ (el parámetro de escala), que a la vez representa la moda de la distribución —el valor más probable— y controla la dispersión del conjunto. La función de densidad de probabilidad (PDF) es f(x; σ) = (x/σ²) · exp(−x²/(2σ²)) para x ≥ 0. Esta forma parecida a una campana sube desde cero en x = 0, alcanza su máximo en x = σ y luego desciende asintóticamente hacia cero. La función de distribución acumulada (CDF) es F(x; σ) = 1 − exp(−x²/(2σ²)), que da la probabilidad de que una observación aleatoria sea menor o igual que x. La CDF complementaria (CCDF = 1 − CDF) da la probabilidad de observar un valor estrictamente mayor que x; también se conoce como función de supervivencia y es clave en fiabilidad e ingeniería de comunicaciones. La distribución de Rayleigh es un caso especial de la distribución de Weibull de dos parámetros con parámetro de forma k = 2. También tiene una relación profunda con la distribución normal: si dos variables aleatorias independientes X e Y siguen cada una una normal de media cero y varianza σ², entonces la magnitud del vector R = √(X² + Y²) sigue una distribución de Rayleigh con parámetro de escala σ. Esta interpretación geométrica la convierte en el modelo natural para la amplitud de un vector aleatorio 2D. En comunicaciones inalámbricas, el modelo de desvanecimiento de Rayleigh describe cómo se propagan las señales de radio en entornos con muchos dispersores y sin una trayectoria dominante en línea de vista. Cuando una señal transmitida se refleja en edificios, vehículos y el terreno antes de llegar al receptor, la envolvente de la señal recibida sigue una distribución de Rayleigh. Los ingenieros usan este modelo para calcular presupuestos de enlace, determinar probabilidades de interrupción y diseñar códigos correctores de errores. El parámetro σ se estima a partir de mediciones de la señal y se usa directamente en simulaciones a nivel de sistema. En oceanografía y meteorología, la distribución modela alturas significativas de ola y velocidades máximas del viento en un sitio. Ajustando σ a datos históricos, ingenieros y científicos pueden estimar la probabilidad de eventos extremos; por ejemplo, la probabilidad de que la altura de ola supere un umbral de seguridad durante una tormenta de 50 años. Aplicaciones similares aparecen en el diseño de plataformas marinas, el modelado de inundaciones costeras y la ubicación de aerogeneradores. En ingeniería de fiabilidad, la distribución de Rayleigh sirve como distribución de vida útil para componentes sometidos a daños acumulados por múltiples factores de estrés independientes. A diferencia de la distribución exponencial, la tasa de riesgo de Rayleigh aumenta linealmente con el tiempo (h(t) = t/σ²), lo que significa que los componentes más antiguos fallan con mayor frecuencia, un modelo realista para mecanismos de desgaste como la fatiga del metal y la corrosión. Las estadísticas resumen clave son: Media = σ√(π/2) ≈ 1.2533σ; Mediana = σ√(2 ln 2) ≈ 1.1774σ; Moda = σ; Varianza = (4 − π)/2 · σ² ≈ 0.4292σ². La media siempre supera a la moda, lo que refleja la asimetría a la derecha de la distribución. La varianza crece cuadráticamente con σ, así que duplicar σ cuadruplica la dispersión.